1-9. 매클로린 & 테일러 급수

매클로린(MacClaurin) 급수

  • 어떤 임의의 함수를 다항 함수로 나타내는 것.
  • ex) $\cos x \implies x+x^2+x^3+x^4+\cdots$

왜 매클로린 급수를 사용할까?

  • 다항 함수로 만듦으로써 전 구간을 미분이 가능하게 만든다.

https://64.media.tumblr.com/e5580aeaf00adb1673a59cf63391370b/tumblr_n9ejwiGSbi1tzs5dao1_r2_1280.gifv

  • 문제는 각 항의 계수가 얼마여야 완벽히 $\cos x$를 흉내낼 수 있는가?
  • $\cos x \implies C_0+ C_1x+C_2x^2+C_3x^3+C_4x^4+\cdots$

매클로린 급수 계수 구하기

  • $C_0 = \enspace ?$
    • 양변의 $x$에 0을 대입 $\cos 0 = C_0 \implies C_0 = 1$
  • $C_1 = \enspace ?$
    • 미분하기 $-\sin x = C_1+2C_2x+3C_3x^2+4C_4x^3+\cdots$
    • $x$에 0 대입 $-\sin 0 = C_1 \implies C_1 = 0$
  • $C_2 = \enspace ?$
    • 미분하기 $-\cos x = 2C_2+6C_3x+12C_4x^2+\cdots$
    • $x$에 0 대입 $-\cos 0 = 2C_2 \implies 2C_2 = -1 \implies C_2 = -\frac12$

예시로 구한 조합 말고 다른 조합은 없는가?

  • 없다. 각 항이 독립적이라 다른 조합은 존재하지 않는다.

매클로린 급수 일반식

$C_n = \dfrac{f^n(0)}{n!}$

테일러 급수

  • 매클로린 급수와 달리 0에 중심을 맞추는게 아니라 a라는 임의의 점에 중심을 맞춘다. $f(x) \implies C_0+ C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+C_3(x-a)^3+C_4(x-a)^4+\cdots$

테일러 급수 일반식

$C_n=\dfrac{f^n(a)}{n!}$

예시

$y = e^x$

$\begin{cases}f’(x) = e^x \ f’‘(x) = e^x \ f’’‘(x)=e^x\ \vdots \end{cases}$

$\begin{cases}f’(0) = 1 \ f’‘(0) = 1 \ f’’‘(0)=1 \ \vdots\end{cases}$

$\therefore y=e^x \ \implies 1+x+ \frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+ \cdots$

$y = \ln x\enspace(a = 1)$

$\begin{cases}f(x) = \ln x \ f’(x) = \frac1x \ f’‘(x)=-\frac{1}{x^2} \ f’’‘(x)= \frac{2}{x^3} \ f’’’‘(x)=-6x^{-4} \ \vdots \end{cases}$

$\begin{cases}f(a) = 0 \ f’(a) = 1 \ f’‘(a)=-1 \ f’’‘(a)=2 \ f’’’‘(a)=-6 \ \vdots\end{cases}$

$\therefore y=\ln x \ \implies (x-a)- \frac12(x-a)^2+ \frac13(x-a)^3 \cdots$

  • 하지만 $\ln x$는 $x\geq2$부터 수렴하지 않는다.
  • 즉, 테일러 급수는 무적이 아니다.

테일러 급수 수렴 구간

$\lim\limits_{n\to\infty}\mid\dfrac{p_{n+1}}{p_n}\mid < 1$

수렴 구간 예시

$Let \enspace y=\ln x$

$\implies \lim\limits_{n\to\infty}\mid\dfrac{\frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}}{\frac{1}{n}(x-1)^n}\mid<1$

$\implies \lim\limits_{n\to\infty}\mid\dfrac{n}{n+1}(x-1)\mid<1$

$\implies -1 < x-1 <1$

$\implies 0<x<2$

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