1-6. 미분 (도함수)

미분

  • 미분 = 순간 기울기
  • 기울기 = $\frac{\varDelta y}{\varDelta x}$
  • 1차 함수의 경우 어느 부분이든 기울기가 동일하다
  • 2차 함수는 $\varDelta x$가 작아질수록 기울기가 달리진다

그렇다면 순간 기울기는 어떻게 구할까?

  • 순간 기울기의 정의: $\lim\limits_{\varDelta x \to 0} \frac{f(x+\varDelta x) - f(x)}{\varDelta{x}}$
  • 예시로 $x$가 1일 때의 $y = x^2$의 순간 기울기는?

$\lim\limits_{\varDelta x \to 0} \frac{f(1+\varDelta x) - f(1)}{\varDelta{x}} = \lim\limits_{\varDelta x \to 0} \frac{(1+\varDelta x)^2 - 1^2}{\varDelta{x}} = \lim\limits_{\varDelta x \to 0} \frac{\varDelta x^2 +2\varDelta{x}}{\varDelta{x}} = \lim\limits_{\varDelta x \to 0} \varDelta{x}+2 = 2$

  • $x$가 변수 그대로 남아있을때의 순간 기울기는?

$\lim\limits_{\varDelta x \to 0} \frac{(x+\varDelta x)^2 - x^2}{\varDelta{x}} = \lim\limits_{\varDelta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\varDelta{x}+\varDelta{x}^2-x^2}{\varDelta{x}} = \lim\limits_{\varDelta x \to 0} 2x+\varDelta{x} = 2x = f’(x)$

⇒ 여기서 구한 값이 바로 도함수.

도함수 공식

  • $x^n \implies nx^{n-1}$

  • $log_2x\implies \frac1{ln2}\frac1x$

  • $e^x\implies e^x$

  • $af(x) \implies af’(x)$

  • $ln\,x\implies \frac1x$
  • $f(x) + g(x)\implies f’(x)+g’(x)$
  • $f(x)g(x) \implies f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$

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