1-7. 연쇄 법칙

연쇄법칙

  • 미분을 연쇄하여 연산하는 방법으로 여러 개의 미분을 한번에 진행하도록 도와주는 법칙이다.

예시 (연쇄법칙 미적용)

  • $y = (x^2+1)^2, \enspace f’(x) =\enspace ?$
  • $f’(x) = \lim\limits_{\varDelta x \to 0}\dfrac{((x+\varDelta x)^2+1)^2 - (x^2+1)^2}{\varDelta x}$
  • 해당 식은 너무 복잡하여 푸는데 시간이 너무 오래 걸림.

예시 (연쇄법칙 적용)

  • $(x^2+1)^2 \to x^2+1 \to x^2 \to x$
  • $\dfrac{d(x^2+1)^2}{dx} = \dfrac{d(x^2+1)^2}{d(x^2+1)} \dfrac{d(x^2+1)}{dx^2} \dfrac{dx^2}{dx} \ =2(x^2+1)\cdot 1 \cdot 2x \ =2(x^2+1)2x$

연쇄법칙 증명

  • $Let \enspace y = f(x) \enspace \& \enspace z = g(y) = g(f(x))$
  • $\dfrac{dz}{dx} = \lim\limits_{\varDelta x \to 0}\dfrac{g(f(x+\varDelta x)) -g(f(x))}{\varDelta x} \ =\lim\limits_{\varDelta x \to 0}\dfrac{g(f(x+\varDelta x)) -g(f(x))}{f(x+\varDelta x) - f(x)} \cdot \dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} \ =\dfrac{dz}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

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